Question

12．如圖，設點A，B的坐標分別為（-$\sqrt{3}$，0），（$\sqrt{3}$，0），直線AP，BP相交于點P，且它們的斜率之積為-$\frac{2}{3}$．
（1）求P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡為C，點M、N是軌跡為C上不同于A，B的兩點，且滿足AP∥OM，BP∥ON，求證：△MON的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意知$\frac{y}{x+\sqrt{3}}•\frac{y}{x-\sqrt{3}}=-\frac{2}{3}$（x$≠±\sqrt{3}$），可求P的軌跡方程；
（2）設直線MN的方程為x=my+t，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，利用k_OMk_ON=$\frac{2{t}^{2}-6}{3{t}^{2}-6{m}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，得2t²=2m²+3，即可證明結論．

解答 （1）解：由已知設點P的坐標為（x，y），由題意知$\frac{y}{x+\sqrt{3}}•\frac{y}{x-\sqrt{3}}=-\frac{2}{3}$（x$≠±\sqrt{3}$），
化簡得P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$（x$≠±\sqrt{3}$）…（5分）
（2）證明：由題意M，N是橢圓C上非頂點的兩點，且AP∥OM，BP∥ON，
則直線AP，BP斜率必存在且不為0，又由已知k_APk_BP=-$\frac{2}{3}$．
因為AP∥OM，BP∥ON，所以k_OMk_ON=-$\frac{2}{3}$…（6分）
設直線MN的方程為x=my+t，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，得（3+2m²）y²+4mty+2t²-6=0…①，…（7分）
設M，N的坐標分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{4mt}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{2{t}^{2}-6}{3+2{m}^{2}}$…（8分）
所以k_OMk_ON=$\frac{2{t}^{2}-6}{3{t}^{2}-6{m}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，得2t²=2m²+3…（10分）
又S_△MON=$\frac{1}{2}$|t||y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{6}|t|\sqrt{{t}^{2}}}{4{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即△MON的面積為定值$\frac{\sqrt{6}}{2}$…（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查斜率、面積的計算，屬于中檔題．