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12.如圖,設點A,B的坐標分別為(-3,0),(3,0),直線AP,BP相交于點P,且它們的斜率之積為-23
(1)求P的軌跡方程;
(2)設點P的軌跡為C,點M、N是軌跡為C上不同于A,B的兩點,且滿足AP∥OM,BP∥ON,求證:△MON的面積為定值.

分析 (1)由題意知yx+3yx3=23(x±3),可求P的軌跡方程;
(2)設直線MN的方程為x=my+t,代入橢圓方程x23+y22=1,利用kOMkON=2t263t26m2=-23,得2t2=2m2+3,即可證明結論.

解答 (1)解:由已知設點P的坐標為(x,y),由題意知yx+3yx3=23(x±3),
化簡得P的軌跡方程為x23+y22=1(x±3)…(5分)
(2)證明:由題意M,N是橢圓C上非頂點的兩點,且AP∥OM,BP∥ON,
則直線AP,BP斜率必存在且不為0,又由已知kAPkBP=-23
因為AP∥OM,BP∥ON,所以kOMkON=-23…(6分)
設直線MN的方程為x=my+t,代入橢圓方程x23+y22=1,得(3+2m2)y2+4mty+2t2-6=0…①,…(7分)
設M,N的坐標分別為M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=-4mt3+2m2,y1y2=2t263+2m2…(8分)
所以kOMkON=2t263t26m2=-23,得2t2=2m2+3…(10分)
又S△MON=12|t||y1-y2|=26|t|t24t2=62,
即△MON的面積為定值62…(12分)

點評 本題考查軌跡方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查斜率、面積的計算,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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