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7.已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F(1,0),其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,過(guò)點(diǎn)K的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.
(1)證明:點(diǎn)F在直線BD上;
(2)設(shè)FAFB=89,求直線l的方程.

分析 (1)設(shè)拋物線C:y2=2px,則點(diǎn)K(-1,0),p2=1,由此能求出拋物線C的方程.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程為x=my-1(m≠0).將x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0,再由韋達(dá)定理能夠證明點(diǎn)F(1,0)在直線BD上.
(2)由x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1,知FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),所以FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,由此能夠求直線l的方程.

解答 (1)證明:設(shè)拋物線C:y2=2px,則點(diǎn)K(-1,0),p2=1
∴拋物線C的方程y2=4x.
設(shè)l的方程為x=my-1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),
{x=my1y2=4x整理得y2-4my+4=0,故{y1+y2=4my1y2=4,
則直線BD的方程為yy2=y2+y1x2x1xx1yy2=4y2y1xy224
令y=0,得x=y1y24=1,所以F(1,0)在直線BD上…(6分)
(2)解:由(1)可知{y1+y2=4my1y2=4,所以x1+x2=my11+my21=4m22x1x2=y21y2216=1
FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),
所以FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,
84m2=89,∴m=±43,故直線l的方程為3x+4y+3=0或3x-4y+3=0…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵.

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