據(jù)環(huán)保部門測(cè)定,某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比,與到污染源距離的平方成反比,比例常數(shù)為.現(xiàn)已知相距18的A,B兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為,它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和.設(shè)).
(1)試將表示為的函數(shù); (2)若,且時(shí),取得最小值,試求的值.
(1) , (2) 8.

試題分析:(1)解實(shí)際問題應(yīng)用題,關(guān)鍵要正確理解題意,正確列出等量關(guān)系,注意考慮函數(shù)定義域. 設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染程度為,點(diǎn)C受B污染源污染程度為,其中為比例系數(shù),且.從而點(diǎn)C處受污染程度.定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050134186517.png" style="vertical-align:middle;" /> (2) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050133983332.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,,求復(fù)雜分式函數(shù)最值,通?紤]利用導(dǎo)數(shù)求解. ,令,得,因此函數(shù)在單調(diào)減,在單調(diào)增,即在時(shí)函數(shù)取極小值,也是最小值. 又此時(shí),解得,經(jīng)驗(yàn)證符合題意.
解:(1)設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染程度為,點(diǎn)C受B污染源污染程度為,其中為比例系數(shù),且.                 4分
從而點(diǎn)C處受污染程度.         6分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050133983332.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,,             8分
,令,得,       12分
又此時(shí),解得,經(jīng)驗(yàn)證符合題意.
所以,污染源B的污染強(qiáng)度的值為8.                14分
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