已知圓O：x2＋y2＝8交x軸于A(yíng)，B兩點(diǎn)，曲線(xiàn)C是以AB為長(zhǎng)軸，直線(xiàn)：x＝－4為準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若M是直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的圓K與圓O相交于P，Q兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)E，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)如圖所示，若直線(xiàn)PQ與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)，且，試求此時(shí)弦PQ的長(zhǎng)．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則：

　　，從而：，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4分

　　(Ⅱ)設(shè)，則圓K方程為與圓聯(lián)立消去得的方程為，過(guò)定點(diǎn)．8分

　　(Ⅲ)解法一：設(shè)，則，①

　　，，即：

　　代入①解得：(舍去正值)，，所以，

　　從而圓心到直線(xiàn)的距離，

　　從而．13分

　　解法二：過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別為，設(shè)的傾斜角為，則：

　　，從而，

　　由得：，，故，

　　由此直線(xiàn)PQ的方程為，以下同解法一．

　　解法三：將與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去得：，設(shè)，則．

　　，，所以代入韋達(dá)定理得：

　　，

　　消去得：，，由圖得：，

　　所以，以下同解法一．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：遼寧省沈陽(yáng)二中2011－2012學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文科試題 題型：013

已知圓O：x2＋y2＝1，點(diǎn)P在直線(xiàn)上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓O上存在點(diǎn)Q，使∠OPQ＝30°，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y0的取值范圍是

[　　]
A．

[－2，2]

B．

[0，2]

C．

[－1，1]

D．

[0，1]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

       已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：（x－4）2＋（y－4）2＝1，由兩圓外一點(diǎn)P（a,b）引兩圓切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，如圖，滿(mǎn)足|PA|＝|PB|；

       （Ⅰ）將兩圓方程相減可得一直線(xiàn)方程l：x＋y－4=0，該直線(xiàn)叫做這兩圓的“根軸”，試證點(diǎn)P落在根軸上；

       （Ⅱ）求切線(xiàn)長(zhǎng)|PA|的最小值；

（Ⅲ）給出定點(diǎn)M（0,2），設(shè)P、Q分別為直線(xiàn)l和圓O上動(dòng)點(diǎn)，求|MP|＋|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓O：x2＋y2＝1和定點(diǎn)A(2,1)，由圓O外一點(diǎn)P(a，b)向圓O引切線(xiàn)PQ，切點(diǎn)為Q，|PQ|＝|PA|成立，如圖．

(1)求a、b間關(guān)系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點(diǎn)，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

 已知圓O：x2＋y2＝1和定點(diǎn)A(2,1)，由圓O外一點(diǎn)P(a，b)向圓O引切線(xiàn)PQ，切點(diǎn)為Q，|PQ|＝|PA|成立，如圖．

(1)求a、b間關(guān)系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點(diǎn)，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由兩圓外一點(diǎn)P(a，b)引兩圓切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，如圖，滿(mǎn)足|PA|＝|PB|.

(1)求實(shí)數(shù)a、b間滿(mǎn)足的等量關(guān)系；

(2)求切線(xiàn)長(zhǎng)|PA|的最小值；

(3)是否存在以P為圓心的圓，使它與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切？若存在，求出圓P的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

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