Question

如圖，四棱錐G-ABCD中，ABCD是正方形，且邊長為2a，面ABCD⊥面ABG，AG=BG．
（1）畫出四棱錐G-ABCD的三視圖；
（2）在四棱錐G-ABCD中，過點B作平面AGC的垂線，若垂足H在CG上，求證：面AGD⊥面BGC
（3）在（2）的條件下，求三棱錐D-ACG的體積及其外接球的表面積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據(jù)三視圖的定義即可畫出四棱錐G-ABCD的三視圖；
（2）利用面面垂直的判斷定理即可證明面AGD⊥面BGC
（3）根據(jù)三棱錐的體積公式即可得到結論．

解答： 解：（1）三視圖（見右圖）…（3分）

（2）ABCD是正方形∴BC⊥AB
∵面ABCD⊥面ABG，
∴BC⊥面ABG
∵AG?面ABG，
∴BC⊥AG
又  BH⊥面AGC，
∴BH⊥AG
∵BC∩BH=B，
∴AG⊥面AGD
∴面AGD⊥面BGC  …（7分）

（3）由（2）知AG⊥面BGC，
∴AG⊥BG   又AG=BG
∴△ABG是等腰Rt△，取AB中點E，
連結GE，則GE⊥AB
∴GE⊥面ABCD
∴VD-ACG=VG-ACD=

1

3

•GE•SACD=

1

3

•

1

2

•2a•

1

2

•(2a)2=

2

3

a3…（9分）
又AG⊥GC，
∴取AC中點M，則MG=

1

2

AC，
因此：MG=MA=MC=MD=

2

a，
即點M是三棱錐D-ACG的外接球的球心，
半徑為

2

a，
∴S=4πR²=8πa²…（14分）

點評：本題主要考查三視圖的畫法以及空間面面垂直的判定，根據(jù)面面垂直的判定定理是解決本題的關鍵．