Question

11．設a，b，c∈R，證明：a²+b²+c²≥ab+ac+bc．

Answer 1

分析 方法一、運用重要不等式a²+b²≥2ab，累加即可得證；
方法二、運用作差比較法，由完全平方式非負，即可得證．

解答 證明：方法一、由a²+b²≥2ab，
a²+c²≥2ac b²+c²≥2bc，
相加可得：2a²+2b²+2c²≥2ab+2ac+2bc，
所以a²+b²+c²≥ab+ac+bc（當且僅當a=b=c取得等號）；
方法二、由a²+b²+c²-ab-ac-bc=$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc）
=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]≥0，
則a²+b²+c²≥ab+ac+bc（當且僅當a=b=c取得等號）．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用重要不等式和作差法，考查化簡整理的運算和推理能力，屬于基礎題．