Question

OA，

OB

的夾角為θ，|

OA

|=2，|

OB

|=1，

OM

=k

OA

，

ON

=（1-k）

OB

，|

MN

|=f（k）在k=k₀時(shí)取得最小值，若0＜k₀＜

2

7

，則θ的取值范圍是（　　）

• A、（

  π

  3

  ，

  π

  2

  ）
• B、（

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ）
• C、（

  π

  3

  ，

  2π

  3

  ）
• D、（

  π

  3

  ，π）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：由向量的運(yùn)算可得∴|

MN

|²=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1，由二次函數(shù)可得0＜

1+2cosθ

5+4cosθ

＜

2

7

，解不等式可得cosθ的范圍，可得夾角的范圍．

解答： 解：由題意可得

OA

•

OB

=2×1×cosθ=2cosθ，

MN

=

ON

-

OM

=（1-k）

OB

-k

OA

，
∴|

MN

|²=

MN

2=（1-k）²

OB

2+k²

OA

2-2k（1-k）

OA

•

OB

=（1-k）²+4k²-4k（1-k）cosθ
=（5+4cosθ）k²+（-2-4cosθ）k+1，
由二次函數(shù)知當(dāng)上式取最小值時(shí)，k₀=

1+2cosθ

5+4cosθ

，
由題意可得0＜

1+2cosθ

5+4cosθ

＜

2

7

，解得-

1

2

＜cosθ＜

1

2

，
∴

π

3

＜θ＜

2π

3

．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)量積與向量的夾角，涉及二次函數(shù)的最值和余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．