Question

設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃=8，S₂=48，數(shù)列{b_n}滿足b_n=4log₂a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求正整數(shù)m的值，使得是數(shù)列{b_n}中的項．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公比為q，則有，解得 q=，或q=-（舍）．
則，，…（4分）
．…（6分）
即數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式為，b_n=-4n+24．
（Ⅱ），令t=4-m（t≤3，t∈Z），
所以，…（10分）
如果 是數(shù)列{b_n}中的項，設(shè)為第m₀項，則有，那么為
小于等于5的整數(shù)，
所以t∈{-2，-1，1，2}．當(dāng)t=1或t=2時，，不合題意； 當(dāng)t=-1或t=-2時，，符合題意．
所以，當(dāng)t=-1或t=-2時，即m=5或m=6時，是數(shù)列{b_n}中的項．…（14分）
分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公比為q，由a₃=8，S₂=48求出q的值，進而求出首項，從而求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）化簡 為，令t=4-m（t≤3，t∈Z），則化為 ．如果 是數(shù)列{b_n}中的項，設(shè)為第m₀項，則有，那么為小于等于5的整數(shù)，由此求得正整數(shù)m的值．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．