Question

（20分）在一次實(shí)戰(zhàn)軍事演習(xí)中，紅方的一條直線防線上設(shè)有20個(gè)崗位。為了試驗(yàn)5種不同新式武器，打算安排5個(gè)崗位配備這些新式武器，要求第一個(gè)和最后一個(gè)崗位不配備新式武器，且每相鄰5個(gè)崗位至少有一個(gè)崗位配備新式武器，相鄰兩個(gè)崗位不同時(shí)配備新式武器，問(wèn)共有多少種配備新式武器的方案？

Answer 1

解析： 設(shè)20個(gè)崗位按先后排序?yàn)?，2，，… ，20，且設(shè)第k種新式武器設(shè)置的序號(hào)為 。令，，，，，

，則有

                                        （*）

其中，。       -------------------------------------- 5分

作代換 ，，從而有

                                        （**）

其中      。    ---------------------------------------------------------- 10分

現(xiàn)求解問(wèn)題（**）:

方法一： 設(shè)I為的正整數(shù)解的全體，為I中滿足的解的全體。則

上式成立的原因是，因?yàn)闆]有同時(shí)滿足，，的的正整數(shù)組。所以

.   -------------- 15分

方法二 ：?jiǎn)栴}（**）的解數(shù)等于展開式中的系數(shù)。

而，

故只須求展開式中的系數(shù)。

因此的系數(shù)為 6×15＋20×20＋6×15 ＝ 580。  ----------------------------------------- 15分

因?yàn)?種新式武器各不相同，互換位置得到不同的排列數(shù)，所以配備新式武器的方案數(shù)等于

。   ------------------------------------------ 20分