Question

已知一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，若這個球的表面積為12π，則這個正三棱柱的體積為

54

．

Answer 1

分析：由球的表面積求出半徑，從而得棱柱的高；由球與正三棱柱的三個側面相切，得球的半徑和棱柱底面正△邊長的關系，求出邊長，即求出底面正△的面積；得出棱柱的體積．

解答：解：由球的表面積公式，得4πR²=12π，
∴R=

3

．
∴正三棱柱的高h=2R=2

3

．
設正三棱柱的底面邊長為a，則其內切圓的半徑為：

1

3

•

3

2

a=

3

，
∴a=6．
∴該正三棱柱的體積為：V=S_底•h=

1

2

•a•a•sin60°•h=

3

4

×6×6×2

3

=54．
故答案為：54

點評：本題考查了球的表面積，柱體體積公式的應用；本題的解題關鍵是求底面邊長．