Question

已知直線C₁：

x=1+tcosa y=2+tsina

（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=2cosθ，且C₁與C₂相交于A，B兩點．
（Ⅰ）當tana=-2時，求|AB|；
（Ⅱ）當a變化時，求弦AB的中點P的參數(shù)方程，并說明它是什么曲線．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（I）先消去參數(shù)將曲線C₁與C₂的參數(shù)方程化成普通方程，進而將問題轉(zhuǎn)化為直線被圓所截弦長問題，
（II）根據(jù)已知求出P點的參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)的取值范圍及幾何意義可分析出P點軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）當tanα=-2時，將直線C₁的參數(shù)方程化成直角坐標方程為y=-2x+4，
曲線C₂的極坐標方程化成直角坐標方程為（x-1）²+y²=1，
則圓C₂的圓心為C₂（1，0），半徑r=1，…（3分）
則圓心C₂到直線C₁：y=-2x+4的距離d=

2

5

，
則|AB|=2

r2-d2

=2

1- 4 5

=

2 5

5

．…（5分）
（Ⅱ）由直線C₁的方程可知，直線C₁恒經(jīng)過定點（1，2），
記該定點為Q，弦AB的中點P滿足C₂P⊥QP，
故點P到C₂Q的中點D（1，1）的距離為定值1，
當直線C₁與圓C₂相切時，切點分別記為E，F(xiàn)．…（7分）

由圖，可知∠EDC₂=∠FDC₂=60°，
則點P的參數(shù)方程為

x=1+cosφ y=1+sinφ

(

7π

6

＜φ＜

11π

6

)，
表示的是一段圓�。�…（10分）

點評：本題主要考查直線與圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，利用參數(shù)方程研究軌跡問題的能力．