Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，

∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE，G、H分別為FA、FD的中點.

（Ⅰ）證明：四邊形BCHG是平行四邊形;

（Ⅱ）C、D、F、E四點是否共面？為什么？

（Ⅲ）設(shè)AB=BE.證明：平面ADE⊥平面CDE.

Answer 1

解法一：

 (Ⅰ)由題設(shè)知，FG=GA,FH=HD.

所以GH ，

又BC ,故GH BC.

所以四邊形BCHG是平行四邊形.

 (Ⅱ)C、D、F、E四點共面.理由如下：

由BE ,G是FA的中點知，BE GF，所以EF∥BG.

由(Ⅰ)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面.又點D在直線FH上.

所以C、D、F、E四點共面.

(Ⅲ)連結(jié)EG，

由AB=BE，BE AG及∠BAG=90°知ABEG是正方形.故BG⊥EA.

由題設(shè)知，FA、AD、AB兩兩垂直，故AD⊥平面FABE，

因此EA是ED在平面FABE內(nèi)的射影，

根據(jù)三垂線定理，BG⊥ED.

又ED∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.

由(Ⅰ)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.

由(Ⅱ)知F平面CDE.故CH平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.

解法二：

由題設(shè)知，FA、AB、AD兩兩互相垂直.

如圖，以A為坐標原點，射線AB為x軸正方向建立直角坐標系A-xyz.

(Ⅰ)設(shè)AB=a,BC=b,BE=c，則由題設(shè)得

A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c).

所以，

于是

又點G不在直線BC上.

所以四邊形BCHG是平行四邊形.

(Ⅱ)C、D、F、E四點共面.理由如下：

由題設(shè)知，F(0,0,2c)，所以

(Ⅲ)由AB=BE，得c=a，所以

又

即       CH⊥AE,CH⊥AD,

又       AD∩AE =A,所以CH⊥平面ADE,

故由CH平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.