Question

寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:

(1)1，3，7，15，…；

(2)，，3，，…；

(3)－2，，－，，…；

(4)0.9,0.99,0.999,0.9999,…；

(5)1，0，1，0，1，0，….

Answer 1

解:(1)注意和2ⁿ進(jìn)行比較，可得a_n=2ⁿ－1.

(2)將數(shù)列的項(xiàng)都化成分母是3的分式得，，，，….

經(jīng)觀察可得a_n=.

(3)將數(shù)列的項(xiàng)變?yōu)椋?SUB>，，－，，….

注意觀察符號是正負(fù)交替出現(xiàn)，分母是一組平方數(shù)，分子比分母大1，因此a_n=        (－1)ⁿ.

(4)將數(shù)列中的項(xiàng)和1進(jìn)行比較就會發(fā)現(xiàn)，a₁=0.9=1－,a₂=0.99=1－=1－,?a₃=0.999=1－=1－,…,因此,a_n=1－.

(5)數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為0，注意1+(－1)ⁿ⁺¹的值為2和0，

故有a_n=［1+(－1)ⁿ⁺¹］/2.

點(diǎn)評:求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，常用的方法有:觀察法，待定系數(shù)法，特殊數(shù)列法及歸納法等.常用的手段有:通過(－1)ⁿ或(－1)ⁿ⁺¹來調(diào)整正負(fù)號；各項(xiàng)都化成分?jǐn)?shù)、平方、指數(shù)、對數(shù)等同類式子，再尋找規(guī)律；借助于一些特殊數(shù)列，如:{}，{nⁿ},{aⁿ},{(－1)ⁿ}來找通項(xiàng)；有些數(shù)列的通項(xiàng)公式還可用分段函數(shù)來表示.但我們要注意，由有限項(xiàng)歸納出的通項(xiàng)公式往往是不唯一的.