分析 由12sinB=cos(B+C)sinC,利用正弦定理可得:cosA=-12c<0,A為鈍角.因此cosAcosC≠0,由sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC,可得tanA=-3tanC,tanC>0,tanB=-tanA+tanC1−tanAtanC,代入化簡整理利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.
解答 解:在△ABC中,∵12sinB=cos(B+C)sinC,
∴12×1=−ccosA,即cosA=-12c<0,∴A為鈍角.
∴cosAcosC≠0,
由sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC,
可得tanA=-3tanC,tanC>0,tanB=-tanA+tanC1−tanAtanC=−(−2tanC)1+3tan2C=21tanC+3tanC≤22√3=√33,當且僅當tanC=√33時取等號.
∴B取得最大值arctan√33時,∴c=b=1,C=B=\frac{π}{6}.
A=\frac{2π}{3}.
∴a=2×1×cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}.
∴a+b+c=2+\sqrt{3}.
故答案為:2+\sqrt{3}.
點評 本題考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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A. | y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1 | B. | y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}({x-1}) | C. | y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-1 | D. | y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}({x-1}) |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 5 | D. | 6 |
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A. | (0,+∞) | B. | (3,+∞) | C. | [0,+∞) | D. | [3,+∞) |
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