Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；

（Ⅱ）若函數(shù)在處取得極值，對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）顯然函數(shù)的定義域為.

因為，所以，

當時，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，

∴在上沒有極值點；                                              ……3分

當 時，由得，由得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當時在上沒有極值點，當時在上有一個極值點.……6分

（Ⅱ）∵函數(shù)在處取得極值，由（Ⅰ）結(jié)論知，

∴，                                      ……8分

令，所以，

令可得在上遞減，令可得在上遞增，   ……10分

∴，即.                                   ……12分

考點：本小題主要考查函數(shù)的求導、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值最值和恒成立問題，考查學生分析問題、解決問題的能力和分類討論思想的應用以及運算求解能力.

點評：導數(shù)是研究函數(shù)問題的有力工具，常常用來解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題.對于題目條件較復雜，設(shè)問較多的題目審題時，應該細致嚴謹，將題目條件條目化，一一分析，細心推敲.對于設(shè)問較多的題目，一般前面的問題較簡單，問題難度階梯式上升，先由條件將前面的問題正確解答，然后將前面問題的結(jié)論作為后面問題解答的條件，注意問題之間的相互聯(lián)系，使問題化難為易，層層解決.