Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．（可能用到的結(jié)論：1×2×3×4×…×n=n!）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，可得a_n+1=（n+1）a_n．當(dāng)n=2時(shí)，a₂=a₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，利用“累乘求積”即可得出．

解答： 解：∵a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），
∴a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
∴a_n+1-a_n=na_n，
∴a_n+1=（n+1）a_n．
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=a₁=1．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•a₂=n×（n-1）×…×3×1=

1

2

×n!．
∴an=

1，n=1 1 2 n!，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“累乘求積”、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．