已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為D,點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上,且有|DP|=|MP|.(1)求M點(diǎn)的軌跡方程C;(2)已知直線l過(guò)點(diǎn)(0,),且斜率為1,求l與C相交所得的弦長(zhǎng).
(1) x2 =1 (2)
此題考查了直線與圓相交的性質(zhì),以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,涉及的知識(shí)有:直線與圓的交點(diǎn),一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,基本不等式的運(yùn)用,以及直線與圓相切時(shí),圓心到直線的距離等于圓的半徑的性質(zhì),利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想,是一道綜合性較強(qiáng)的試題.
(1)設(shè)出M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意DP⊥x軸,點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上,且|DP|=|MP|,找出x0與x的關(guān)系及y0與y的關(guān)系,記作①,根據(jù)P在圓上,將P的坐標(biāo)代入圓的方程,記作②,將①代入②,即可得到點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)直線與圓聯(lián)立求解方程組,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長(zhǎng)公式。
解:(1)設(shè)P(x0,y0),M(x,y),由題意知,   ……3分
又點(diǎn)P在圓x2+y2=1,可得M點(diǎn)的軌跡方程為x2 =1. ……6分
(2)由(1)知聯(lián)立上式得4x2+(x+)2=4,5x2+2x-1=0,可知必有D>0…8分
設(shè)l與C的交點(diǎn)為A(x1,y1), B(x2,y2),則有x1+x2 =-,  x1x2 =-.…10分
\|AB|=|x1-x2|=
. ……12分
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