Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₂=4，且S_n=a_n+1-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）若c_n=-20+log₂a_4n，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式結(jié)合a₂=4求得數(shù)列首項(xiàng)，得到S_n-1=a_n-2（n≥2），作差后可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=-20+log₂a_4n，分組求和后利用二次函數(shù)的最值得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=a_n+1-2，
∴S_n-1=a_n-2（n≥2），
則a_n+1=2a_n（n≥2），
又a₂=4，
∴a₁=S₁=a₂-2=2，即a₂=2a₁．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
則${a}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）c_n=-20+log₂a_4n =$-20+lo{g}_{2}{2}^{4n}=4n-20$．
∴T_n =$4×（1+2+…+n）-20n=4×\frac{n（n+1）}{2}-20n$=2n²-18n．
∴當(dāng)n=4或5時(shí)，{c_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值．
此時(shí)T₄=T₅=-40．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，考查二次函數(shù)求最值，是中檔題．