Question

15．設橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距為c，連接其四個頂點組成的菱形面積為$8\sqrt{3}$，且a²、c²、b²成等差數列
（1）求橢圓E的方程；
（2）若斜率為1的直線l與橢圓E交于A、B兩點，且點P（-3，2）在線段AB的垂直平分線上，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由條件利用橢圓的性質求得a、b的值，可得橢圓E的方程．
（2）設直線l的方程為y=x+m代入橢圓，利用韋達定理、中點公式求得AB的中點Q的坐標，利用弦長公式求得AB的長，從而求得△PAB的面積．

解答 解：（1）由已知$\frac{1}{2}•2a•2b=8\sqrt{3}$，得$ab=4\sqrt{3}$．
又a²+b²=2c²且c²=a²-b²得$a=\sqrt{3}b$，
∴$a=2\sqrt{3}，b=2$，從而橢圓E的方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）設直線l的方程為y=x+m，聯立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$得4x²+6mx+3m²-12=0，
因為直線l與橢圓E交于A、B兩點，
∴△=（6m）²-4×4×（3m²-12）＞0，即m²＜16．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點$Q（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$，
因為$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{3m}{2}}\\{{y_1}+{y_2}={x_1}+{x_2}+2m=\frac{m}{2}}\end{array}}\right.$，所以$Q（-\frac{3m}{4}，\frac{m}{4}）$；      
又因為P（-3，2）在線段AB的垂直平分線上，所以PQ⊥AB；
又因為AB斜率為1，所以k_PQ=-1，得m=2（滿足要求）．
從而$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-3}\\{{x_1}•{x_2}=0}\end{array}}\right.$，即|x₁-x₂|=3，中點$Q（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，
因此△PAB的面積為${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}|{x_1}-{x_2}|•|PQ|=\frac{9}{2}$．

點評 本題主要考查橢圓的定義和性質的應用，直線和橢圓的位置關系的應用，韋達定理，屬于中檔題．