Question

2．已知點(diǎn)F是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，△ABE是直角三角形，則該雙曲線的離心率為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用雙曲線的對(duì)稱性及直角三角形，可得∠AEF=45°，從而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|，得到關(guān)于a，b，c的等式，即可求出離心率的值和漸近線方程．

解答 解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB為直角，
∵雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且直線AB垂直x軸，
∴∠AEF=∠BEF=45°，
∴|AF|=|EF|，
∵F為左焦點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（-c，0），
令x=-c，則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
則有y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∴|AF|=$\frac{^{2}}{a}$，∴|EF|=2c，
∴$\frac{^{2}}{a}$=2c
∴b²=2ac，
即c²-a²=2ac，
即∴e²-2e-1=0，
∵e＞1，∴e=1+$\sqrt{2}$，
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的對(duì)稱性、考查雙曲線的三參數(shù)關(guān)系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率和漸近線方程，屬于中檔題．