Question

已知銳角△ABC的三內角A、B、C所對應的三邊分別為a、b、c，兩向量

n

=(tanB，-

3

)，

m

=(a2+c2-b2，ac)滿足

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）求函數y=2sin2A+cos

C-3A

2

的最大值以及此時角A的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據兩向量的坐標，由兩向量垂直時數量積為0列出關系式，變形后利用余弦定理及同角三角函數間的基本關系化簡，可得出sinB的值，由三角形為銳角三角形可得出B為銳角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（Ⅱ）由B的度數，得到A+C的度數，用A表示出C，代入所求的式子中，第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由A的范圍，求出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質可得出正弦函數的值域，進而確定出函數的最大值，以及此時A的度數．

解答：解：（Ⅰ）∵

n

=(tanB，-

3

)，

m

=(a2+c2-b2，ac)，且

m

⊥

n

，
∴（a²+c²-b²）tanB-

3

ac=0，即

a2+c2-b2

2ac

•tanB=

3

2

，
又cosB=

a2+c2-b2

2ac

，tanB=

sinB

cosB

，
∴sinB=

3

2

，
∵B為銳角，∴B=

π

3

；…（6分）
（Ⅱ）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，
則y=2sin²A+cos

C-3A

2

=2sin²A+cos（

π

3

-2A）
=1-cos2A+

1

2

cos2A+

3

2

sin2A=

3

2

sin2A-

1

2

cos2A+1=sin（2A-

π

6

）+1，…（9分）
∵

π

6

＜A＜

π

2

，
∴當2A-

π

6

=

π

2

時，即A=

π

3

時，函數的最大值為2．…（12分）

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，余弦定理，同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，二倍角的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．