Question

9．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長(zhǎng)為a，E為棱CC₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求異面直線BD與A₁E所成的角；
（2）確定E點(diǎn)的位置，使平面A₁BD⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （1）連接AC，A₁C₁，證明AA₁⊥BD．AC⊥BD，然后證明BD⊥平面ACC₁A₁，推出BD⊥A₁E．
（2）E為CC₁中點(diǎn)．設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點(diǎn)，連接A₁O，EO，求出A₁O²+OE²⁼$\frac{9}{4}$a²，證明A₁O⊥OE．證明A₁O⊥平面BDE．然后證明平面A₁BD⊥平面BDE．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）連接AC，A₁C₁，
∵正方體AC₁中，AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD．

∵正方體ABCD中，AC⊥BD且AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁且E∈CC₁，
∴A₁E?平面ACC₁A₁，∴BD⊥A₁E．
（2）E為CC₁中點(diǎn)．
設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點(diǎn)，連接A₁O，EO，

由（1）得BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥A₁O，BD⊥EO．
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，E為CC₁中點(diǎn)，
∴A₁O²+OE²=AA${\;}_{1}^{2}$+AO²+OC²+EC²=a²+$（{\frac{\sqrt{2}a}{2}）}^{2}$+$（{\frac{\sqrt{2}a}{2}）}^{2}$+$（\frac{a}{2}）^{2}$=$\frac{9}{4}$a²，
A₁E²=A₁${{C}_{1}}^{2}$+C₁E²=2a²+$\frac{{a}^{2}}{9}$=$\frac{9}{4}$a²，即A₁O²+OE²=A₁E²，∴A₁O⊥OE．
又OE∩BD=O，∴A₁O⊥平面BDE．又A₁O?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面BDE．

點(diǎn)評(píng) ′本題考查平面與平面垂直，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．