Question

某市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個(gè)班進(jìn)行鉛球測(cè)試，成績(jī)?cè)?.0米（精確到0.1米）以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小組的頻數(shù)是7．
（1）求這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)；
（2）用此次測(cè)試結(jié)果估計(jì)全市畢業(yè)生的情況．若從今年的高中畢業(yè)生中隨機(jī)抽取兩名，記X表示兩人中成績(jī)不合格的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲成績(jī)?cè)?～10米之間，乙成績(jī)?cè)?.5～10.5米之間，現(xiàn)甲、乙各投擲一次，求甲比乙投擲遠(yuǎn)的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意及所給的頻率分布直方圖的性質(zhì)可知第6小組的頻率為1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，測(cè)試總?cè)藬?shù)為

7

0.14

=50（人），第4、5、6組成績(jī)均合格，人數(shù)為（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）；
（2）由于X表示兩人中成績(jī)不合格得人數(shù)，由題意則X=0，1，2，利用隨機(jī)變量的定義及二項(xiàng)分布原理可知其分布列，并有符合二項(xiàng)分布的期望公式可求得期望；
（3）由題意利用幾何概型的概率公式，設(shè)甲、乙各投擲一次的成績(jī)分別為x、y米，利用面積比即可求出．

解答：解：（1）第6小組的頻率為1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴此次測(cè)試總?cè)藬?shù)為

7

0.14

=50（人）．
∴第4、5、6組成績(jī)均合格，人數(shù)為（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．
（2）X=0，1，2，此次測(cè)試中成績(jī)不合格的概率為

14

50

=

7

25

，∴X～B(2，

7

25

).P(X=0)=(

18

25

)2=

324

625

，P(X=1)=

C

1 2

(

7

25

)(

18

25

)=

252

625

，P(X=2)=(

7

25

)2=

49

625

．
所求分布列為

X	0	1	2
P	324 625	252 625	49 625

E(X)=2×

7

25

=

14

25

，
（3）設(shè)甲、乙各投擲一次的成績(jī)分別為x、y米，
則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)榫匦蜛BCD，
而甲比乙投擲遠(yuǎn)在區(qū)域直角三角形BEF中，
并且S_矩形ABCD=2×1=2，S△BEF=

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

8

，
所以甲比乙投擲遠(yuǎn)的概率為：

1 8

2

=

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到頻率分布直方圖、二項(xiàng)分布及幾何概型，關(guān)鍵是理解清楚題意及計(jì)算時(shí)要心細(xì)．