Question

（2009•臨沂一模）下面四個命題：
①把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；
②函數(shù)f（x）=ax²-lnx的圖象在x=1處的切線平行于直線y=x，則（

2

2

，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
③正方體的內(nèi)切球與其外接球的表面積之比為1：3；
④“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的充分不必要條件．
其中所有正確命題的序號為

②③

．

Answer 1

分析：①利用三角函數(shù)的平移變換即可判斷出；
②利用導數(shù)的幾何意義、導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出；
③利用正方體的內(nèi)切球、外接球的半徑與正方體的半徑之間的關系即可得出；
④利用斜率存在的兩條直線平行的充要條件即可得出．

解答：解：①把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個單位得到y(tǒng)=3sin[2(x-

π

3

)+

π

3

]=3sin(2x-

π

3

)的圖象，而得不到函數(shù)y=3sin2x的圖象，因此不正確；
②∵函數(shù)f（x）=ax²-lnx的圖象在x=1處的切線平行于直線y=x，∴f′(1)=(2ax-

1

x

)|x=1=1，解得a=1，
∴f′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，（x＞0），令f^′（x）=0，解得x=

2

2

，當x＞

2

2

時，f^′（x）＞0，∴（

2

2

，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，因此正確；
③不妨設此正方體的棱長為2，則其內(nèi)切球與外接球的半徑分別為1，

3

，故其內(nèi)切球與其外接球的表面積之比=

4π×12

4π×( 3 )2

=

1

3

，因此正確；
④∵“a=2”?“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”，∴“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的充分必要條件．故④不正確．
綜上可知：只有②③正確．
故答案為②③．

點評：本題綜合考查了三角函數(shù)的平移變換、導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、正方體的內(nèi)切球、外接球的半徑與正方體的半徑之間的關系及斜率存在的兩條直線平行的充要條件，熟練以上知識與方法是解題的關鍵．