Question

【題目】已知拋物線： （）的焦點(diǎn)是橢圓： （）的右焦點(diǎn)，且兩曲線有公共點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為， ，若過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，已知直線與相較于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在一定直線上？若在，請(qǐng)求出定直線的方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 點(diǎn)在定直線上

【解析】試題分析：（1）由條件易得： ，從而得到橢圓的方程；

（2）先由特殊位置定出，猜想點(diǎn)在直線上，由條件可得直線的斜率存在， 設(shè)直線，聯(lián)立方程，消得： 有兩個(gè)不等的實(shí)根，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化條件即可.

試題解析：

（1）將代入拋物線得

∴拋物線的焦點(diǎn)為，則橢圓中，

又點(diǎn)在橢圓上，

∴， 解得，

橢圓的方程為

（2）方法一

當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)點(diǎn)， ，則直線和直線，聯(lián)立，解得，

當(dāng)點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱性知： .

猜想點(diǎn)在直線上，證明如下：

由條件可得直線的斜率存在， 設(shè)直線，

聯(lián)立方程，

消得： 有兩個(gè)不等的實(shí)根，

，

設(shè)，則，

則直線與直線

聯(lián)立兩直線方程得（其中為點(diǎn)橫坐標(biāo)）

將代入上述方程中可得，

即，

即證

將代入上式可得

，此式成立

∴點(diǎn)在定直線上.

方法二

由條件可得直線的斜率存在， 設(shè)直線

聯(lián)立方程，

消得： 有兩個(gè)不等的實(shí)根，

，

設(shè)，則，

，

由， ， 三點(diǎn)共線，有：

由， ， 三點(diǎn)共線，有：

上兩式相比得

，

解得

∴點(diǎn)在定直線上．