Question

.已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=，
（Ⅰ）求a₂•a₃；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_2n-2，n∈N^*，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}前100項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和．

Answer 1

（Ⅰ）解：a₁=1，n=1時，a₂=a₁+1=；n=2時，a₃=a₂-4=；
∴a₂•a₃=-
（Ⅱ）證明：b₁=a₂-2=-，且===
∴數(shù)列{b_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
∴=-
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得
∵當(dāng)n=2k時，a_2k+1=a_2k-2×2k（k=1，2…，49）
∴數(shù)列{a_n}前100項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為1-2×（2+4+…+98）+a₂+a₄+…+a₉₈=
分析：（Ⅰ）a₁=1，利用數(shù)列遞推式，n=1時，a₂=a₁+1=；n=2時，a₃=a₂-4=；故可求a₂•a₃的值；
（Ⅱ）b₁=a₂-2=-，且===，故可得數(shù)列{b_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可求其通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，當(dāng)n=2k時，a_2k+1=a_2k-2×2k（k=1，2…，49），從而可求數(shù)列{a_n}前100項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推式，考查等比數(shù)列的定義，考查數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新數(shù)列，屬于中檔題．