Question

已知函數(shù)（為實數(shù)，），，⑴若，且函數(shù)的值域為，求的表達(dá)式；

⑵設(shè)，且函數(shù)為偶函數(shù)，判斷是否大0？

⑶設(shè)，當(dāng)時，證明：對任意實數(shù)，(其中是的導(dǎo)函數(shù)) ．

 

Answer 1

（1），（2）成立，（3）證明略.

【解析】

試題分析：（1）由于的表達(dá)式與有關(guān)，而確定的表達(dá)式只需求出待定系數(shù)，因此只要根據(jù)題目條件聯(lián)立關(guān)于的兩個關(guān)系即可；（2）由為偶函數(shù)可先確定，而可不妨假設(shè)，則，代入的表達(dá)式即可判斷的符號；（3）原不等式證明等價于證明“對任意實數(shù)，” 即等價于證明“ ”，可先證，再證.根據(jù)不等式性質(zhì)，可證得.

試題解析：⑴因為，所以，因為的值域為，所以，所以，所以，所以；

⑵因為是偶函數(shù)，所以，又，所以，因為，不妨設(shè)，則，又，所以，此時，所以；

⑶因為，所以，又，則，因為，所以，則原不等式證明等價于證明“對任意實數(shù)，” 即 .

先研究 ，再研究.

① 記，，令，得，當(dāng)，時，單增；當(dāng)，時，單減. 所以，，即.

② 記，，所以在,單減，所以，，即.

綜上①、②知，.

即原不等式得證，對任意實數(shù)，.

考點：二次函數(shù)表達(dá)式的求解，分段函數(shù)求值問題，用導(dǎo)數(shù)工具證明不等式，不等式的性質(zhì)，化歸與轉(zhuǎn)化的思想.