Question

15．設函數(shù)f（x）=（C${\;}_{10}^{1}$x+1）（C${\;}_{10}^{2}$x+1）…（C${\;}_{10}^{7}$x+1）（C${\;}_{10}^{8}$x+1），則f′（0）=1012（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 將f（x）兩邊取自然對數(shù)，根據對數(shù)的運算性質，將其化簡為lnf（x）=ln（C${\;}_{10}^{1}$x+1）+ln（C${\;}_{10}^{2}$x+1）+…+ln（C${\;}_{10}^{7}$x+1）+ln（C${\;}_{10}^{8}$x+1），兩邊對x求導，
化簡整理求得f′（x）的解析式，將x=0，代入求得f′（0）=（C${\;}_{10}^{1}$+C${\;}_{10}^{2}$+…+C${\;}_{10}^{7}$+C${\;}_{10}^{8}$），根據二項式定理求得f′（0）的值．

解答 解：兩邊取自然對數(shù)得：lnf（x）=ln（C${\;}_{10}^{1}$x+1）+ln（C${\;}_{10}^{2}$x+1）+…+ln（C${\;}_{10}^{7}$x+1）+ln（C${\;}_{10}^{8}$x+1），
兩邊對x取導數(shù)得$\frac{f′（x）}{f（x）}$=$\frac{{C}_{10}^{1}}{{C}_{10}^{1}x+1}$+$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{10}^{2}x+1}$+…+$\frac{{C}_{10}^{7}}{{C}_{10}^{7}x+1}$+$\frac{{C}_{10}^{8}}{{C}_{10}^{8}x+1}$，
故f′（x）=（$\frac{{C}_{10}^{1}}{{C}_{10}^{1}x+1}$+$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{10}^{2}x+1}$+…+$\frac{{C}_{10}^{7}}{{C}_{10}^{7}x+1}$+$\frac{{C}_{10}^{8}}{{C}_{10}^{8}x+1}$）×f（x）
∴f′（0）=（C${\;}_{10}^{1}$+C${\;}_{10}^{2}$+…+C${\;}_{10}^{7}$+C${\;}_{10}^{8}$）×f（0），
f′（0）=（C${\;}_{10}^{1}$+C${\;}_{10}^{2}$+…+C${\;}_{10}^{7}$+C${\;}_{10}^{8}$），f（0）=1，
故f′（0）=C${\;}_{10}^{1}$+C${\;}_{10}^{2}$+…+C${\;}_{10}^{7}$+C${\;}_{10}^{8}$=2¹⁰-${C}_{10}^{0}$-${C}_{10}^{9}$-${C}_{10}^{10}$=1012．
故答案為：1012．

點評 本題考查求函數(shù)的導數(shù)及二項式定理，技巧性較強，要求熟練掌握求函數(shù)導數(shù)的方法，屬于中檔題．