3.已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)令g(x)=f(x)-x2,若x∈(0,e](e是自然常數(shù))時(shí),函數(shù)g(x)的最小值是3,求a的值.

分析 (1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),由題意可得f′(x)≤0在[1,2]恒成立,即有-a≥2x-$\frac{1}{x}$的最大值,由單調(diào)性可得右邊函數(shù)的最大值,即可得到a的范圍;
(2)求出g(x)的導(dǎo)數(shù),討論①當(dāng)a≤0時(shí),②當(dāng)a>0時(shí),若e≤$\frac{1}{a}$即0<a≤$\frac{1}{e}$,若e>$\frac{1}{a}$即a>$\frac{1}{e}$時(shí),通過(guò)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值情況,即可得到a的值.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2x+a-$\frac{1}{x}$,
函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),可得f′(x)≤0在[1,2]恒成立,
即有-a≥2x-$\frac{1}{x}$的最大值,
由2x-$\frac{1}{x}$在[1,2]遞增,可得最大值為4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$,
即有-a≥$\frac{7}{2}$,解得a≤-$\frac{7}{2}$;
(2)g(x)=f(x)-x2=ax-lnx,
①當(dāng)a≤0時(shí),g(x)在(0,e]遞減,
x=e處取得最小值ae-1=3,解得a=$\frac{4}{e}$>0不成立;
②當(dāng)a>0時(shí),g′(x)=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$,
若e≤$\frac{1}{a}$即0<a≤$\frac{1}{e}$,則g′(x)<0,g(x)遞減,
則有最小值g(e)=ae-1=3,解得a=$\frac{4}{e}$不成立;
若e>$\frac{1}{a}$即a>$\frac{1}{e}$,則在0<x<$\frac{1}{a}$,g′(x)<0,g(x)遞減,
在$\frac{1}{a}$<x<e,g′(x)>0,g(x)遞增.
則有x=$\frac{1}{a}$處取得極小值,且為最小值1+lna=3,解得a=e2
綜上可得a的值為e2

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間、極值和最值,同時(shí)考查分類討論的思想方法,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

18.不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}&{\;}\\{x+y≥-2}&{\;}\\{x-2y≥-2}&{\;}\end{array}\right.$的解集記為D,若(a,b)∈D,則z=2a-3b的最小值是(  )
A.-4B.-1C.1D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

19.比較5${\;}^{2{x}^{2}+1}$與5${\;}^{{x}^{2}+2}$的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

16.求($\frac{x}{2}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$)9的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.與向量$\overrightarrow{a}$=(6,8)共線的單位向量是( 。
A.(-$\frac{3}{5}$,-$\frac{4}{5}$)B.(0,1)C.(3,4)D.($\frac{4}{5}$,$\frac{3}{5}$)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

8.在鈍角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=$\sqrt{3}$,A=$\frac{π}{3}$,則b的取值范圍為(  )
A.(0,1)B.($\sqrt{3}$,2)C.(0,1)∪($\sqrt{3}$,2)D.(0,1)∪(1,2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

15.已知集合A={x|log2x<2},B={y|y=3x+2,x∈R},則A∩B=(  )
A.(1,4)B.(2,4)C.(1,2)D.(1,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

12.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示,則f(0)=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

13.為了了解長(zhǎng)沙市居民月用電情況,抽查了該市100戶居民用電量(單位:度),得到頻率分布直方圖如下:根據(jù)如圖可得到這100戶居民月用電量在[150,300]的用戶數(shù)是( 。
A.70B.64C.48D.30

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案