分析 (1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),由題意可得f′(x)≤0在[1,2]恒成立,即有-a≥2x-$\frac{1}{x}$的最大值,由單調(diào)性可得右邊函數(shù)的最大值,即可得到a的范圍;
(2)求出g(x)的導(dǎo)數(shù),討論①當(dāng)a≤0時(shí),②當(dāng)a>0時(shí),若e≤$\frac{1}{a}$即0<a≤$\frac{1}{e}$,若e>$\frac{1}{a}$即a>$\frac{1}{e}$時(shí),通過(guò)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值情況,即可得到a的值.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2x+a-$\frac{1}{x}$,
函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),可得f′(x)≤0在[1,2]恒成立,
即有-a≥2x-$\frac{1}{x}$的最大值,
由2x-$\frac{1}{x}$在[1,2]遞增,可得最大值為4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$,
即有-a≥$\frac{7}{2}$,解得a≤-$\frac{7}{2}$;
(2)g(x)=f(x)-x2=ax-lnx,
①當(dāng)a≤0時(shí),g(x)在(0,e]遞減,
x=e處取得最小值ae-1=3,解得a=$\frac{4}{e}$>0不成立;
②當(dāng)a>0時(shí),g′(x)=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$,
若e≤$\frac{1}{a}$即0<a≤$\frac{1}{e}$,則g′(x)<0,g(x)遞減,
則有最小值g(e)=ae-1=3,解得a=$\frac{4}{e}$不成立;
若e>$\frac{1}{a}$即a>$\frac{1}{e}$,則在0<x<$\frac{1}{a}$,g′(x)<0,g(x)遞減,
在$\frac{1}{a}$<x<e,g′(x)>0,g(x)遞增.
則有x=$\frac{1}{a}$處取得極小值,且為最小值1+lna=3,解得a=e2.
綜上可得a的值為e2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間、極值和最值,同時(shí)考查分類討論的思想方法,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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