Question

求證：兩條平行線和同一個平面所成的角相等．

Answer 1

分析：分兩條平行線與平面α的位置關系進行討論，當兩條平行線與平面斜交時，在平面的同一側兩條直線上各取一點作平面的垂線，由線面垂直的性質得到線線平行，結合已知條件由等角定理證得答案．

解答：證明：設兩平行線為a，b，平面為α．
①a，b都平行于α或都在α內，或一條與α平行，另一條在α內時，a，b和α所成的角都等于0°，
∴a，b與α成等角；
②a，b都和α垂直時，a，b和α所成的角都等于90°，
∴a，b與α成等角；
③a，b和α斜交時，如圖，

設a∩α=A，b∩α=B，
在a，b上分別取點C，D，使C，D在α的同側，
作CE⊥α于E，DF⊥α于F，則CE‖DF，
連結AE，BF，則直線AE，BF分別是a，b在α內的射影，
∴∠CAE，∠DBF分別是a，b和α所成的角．
∵a‖b，CE‖DF，且∠ACE和∠BDF的方向相同，
∴∠ACE=∠BDF，
∴∠CAE=∠DBF，即斜線a，b和α所成的角相等．
綜上所述，兩條平行線和同一平面所成的角相等．

點評：本題考查了線線平行的判斷，考查了線面垂直的性質，考查了分類討論的數學思想方法，是中檔題．