Question

對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：

①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是，值域也是，則稱是函數(shù)

的“好區(qū)間”.

（1）設(shè)（其中且），判斷是否存在“好區(qū)間”，并

說明理由；

（2）已知函數(shù)有“好區(qū)間”，當(dāng)變化時，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）不存在“好區(qū)間”；（2）的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）先求出的定義域.可知要對分情況討論，當(dāng)時，定義域，在內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)時，定義域，在內(nèi)還是增函數(shù).從而得出，即方程在定義域內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根，即在定義域內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根.再用換元法，設(shè)，則相當(dāng)于兩個不等的實數(shù)根，即在內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根,通過研究二次函數(shù)，發(fā)現(xiàn)在內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根無解，所以函數(shù)不存在“好區(qū)間”；（2）函數(shù)有“好區(qū)間”，由于定義域為，或，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以是方程，即方程有同號的相異實數(shù)根，然后再用判別式求出的范圍，再用韋達定理用表示出，結(jié)合的范圍即可求出的最大值.

試題解析：（1）由.              2分

①當(dāng)時，，此時定義域，，，

，，，

，，

，

在內(nèi)是增函數(shù)；              4分

②當(dāng)時，，此時定義域，

同理可證在內(nèi)是增函數(shù)；              6分

存在“好區(qū)間”，

關(guān)于的方程在定義域內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根.

即在定義域內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根.(*)

設(shè)，則(*)，

即在內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根，

設(shè)，則無解.

所以函數(shù)不存在“好區(qū)間”.               8分

（2）由題設(shè)，函數(shù)有“好區(qū)間”，

或，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，所以是方程，即方程有同號的相異實數(shù)根. 12分

，同號，或.

,.

當(dāng)，取得最大值.              16分

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.二次函數(shù)根的分布；3.韋達定理.