Question

袋中裝著標有數字1，2，3的小球各2個，從袋中任取2個小球，每個小球被取出的可能性都相等．  
（Ⅰ）求取出的2個小球上的數字互不相同的概率；
（Ⅱ）用ξ表示取出的2個小球上的數字之和，求隨機變量ξ的概率分布與數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：利用古典概型概率公式，可求概率；解法二：記“取出的2個小球上的數字互不相同”的事件記為A，“取出的2個小球上的數字相同”的事件記為B，則事件A與事件B是對立事件，從而可求概率；
（II）確定變量的取值，求出相應的概率，可得隨機變量ξ的概率分布與數學期望．

解答：（Ⅰ）解法一：記“取出的2個小球上的數字互不相同”為事件A，
∵從袋中的6個小球中任取2個小球的方法共有

C

2 6

種，…（1分）
其中取出的2個小球上的數字互不相同的方法有

C

2 3

C

1 2

C

1 2

，…（3分）
∴P(A)=

C 2 3 C 1 2 C 1 2

C 2 6

=

3×2×2

3×5

=

4

5

．                            …（4分）
解法二：記“取出的2個小球上的數字互不相同”的事件記為A，“取出的2個小球上的數字相同”的事件記為B，則事件A與事件B是對立事件．
∵P(B)=

C 1 3

C 2 6

=

3

15

=

1

5

，…（2分）
∴P(A)=1-P(B)=

4

5

．                                        …（4分）
（Ⅱ）解：由題意，ξ所有可能的取值為：2，3，4，5，6．           …（6分）
則P(ξ=2)=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 2

C 2 6

=

4

15

，P(ξ=4)=

C 2 2 + C 1 2 C 1 2

C 2 6

=

5

15

，P(ξ=5)=

C 1 2 C 1 2

C 2 6

=

4

15

，P(ξ=6)=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

．
故隨機變量ξ的概率分布列為              

ξ	2	3	4	5	6
P	1 15	4 15	5 15	4 15	1 15

…（10分）
因此，ξ的數學期望Eξ=2×

1

15

+3×

4

15

+4×

5

15

+5×

4

15

+6×

1

15

=4．…（12分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．