在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C，三邊a，b，c滿足
sin(A-B)
sin(A+B)
=
b+c
c
，
（1）求∠A；
（2）若a=6，求△ABC面積最大值．
分析：（1）利用正弦定理把等式中的邊轉(zhuǎn)換成角的正弦，化簡(jiǎn)整理可求得cosA的值，進(jìn)而可求A．
（2）把a(bǔ)和∠A代入余弦定理求得36=b2+c2-2bccos120°根據(jù)均值不等式求得bc的范圍，進(jìn)而代入三角形面積公式，根據(jù)bc的范圍確定三角形面積的范圍，進(jìn)而可求的最大值．
解答：解：（1）以正弦定理可知等式可化為
sin(A-B)
sin(A+B)
=
sinA+sinB
sinC
，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴
sin(A-B)
sinC
=
sinB+sin(A+B)
sinC
，
故sinB=sin（A-B）-sin（A+B）=sinAcosB-cosAsianB-sianAcosnB-cosAsianB=-2cosAsianB．
又sinB≠0，
∴cosA=-
1
2
，∴∠A=120°
（2）根據(jù)余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA，
而a=6，∠A=120°，
∴36=b2+c2-2bccos120°=b2+c2+bc≥3bc，
即bc≤12，當(dāng)b=c=2
3
時(shí)取等號(hào)，
∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤3
3
．
故三角形面積的最大值為3
3
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用正弦定理和余弦定理完成三角形問(wèn)題中邊角問(wèn)題的互換．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sin2ω+2cos2ωx-1（ω＞0）的最小正周期為2π．
（1）當(dāng)x∈R時(shí)，求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，已知f（A）=1，a=2
7
，sinB=2sinC，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且滿足（2b-c）cosA=acosC
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若|
AC
-
AB
|=1，求△ABC周長(zhǎng)l的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin(
7π
6
-2x)+2cos2x-1(x∈R)．
（I）求函數(shù)f（x）的周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知點(diǎn)(A，
1
2
)經(jīng)過(guò)函數(shù)f（x）的圖象，b，a，c成等差數(shù)列，且
AB
•
AC
=9，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，b=
3
，則△ABC的外接圓半徑為 （　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，設(shè)向量
m
=(b-c，c-a)，
n
=(b， c+a)，若向量
m
⊥
n
，則角A的大小為（　　）
A、
π
6
B、
π
3
C、
π
2
D、
2π
3

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