Question

16．如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P（1，4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線上．
（1）寫出該拋物線的方程；
（2）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由圖與題意可設拋物線的標準方程為：y²=2px．（p＞0）．把點P（1，4）代入拋物線方程解得p即可得出；
（2）由直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，可得k₁+k₂=0，化簡可得y₁+y₂=-8．再利用直線AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）由圖與題意可設拋物線的標準方程為：y²=2px，（p＞0）．
把點（1，4），代入拋物線方程可得：16=2p，則p=8，
∴拋物線的方程為：y²=16x；
（2）∵直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{y}_{1}-4}{\frac{{y}_{1}^{2}}{16}-1}$+$\frac{{y}_{2}-4}{\frac{{y}_{2}^{2}}{16}-1}$=$\frac{16}{{y}_{1}+4}$+$\frac{16}{{y}_{2}+4}$=0，
化簡可得y₁+y₂=-8，
直線AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{16}-\frac{{y}_{2}^{2}}{16}}$=$\frac{16}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
直線AB的斜率-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題