Question

定義：離心率e=

5 -1

2

的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）設(shè)E為“黃金橢圓”，問：是否存在過點F₂、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足

RP

=-2

PF2

？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)E為“黃金橢圓”，點M是△PF₁F₂的內(nèi)心，連接PM并延長交F₁F₂于N，求

|PM|

|PN|

的值．

Answer 1

分析：（1）利用反證法，可得a，b，c成等比數(shù)列，與已知矛盾；
（2）假設(shè)直線l的方程，求出P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，可得k2=

1-4e2

e

＜0，與k²≥0矛盾；
（3）設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑，利用等面積，可得

a+c

c

=

S△PF1F2

S△MF1F2

=

|PN|

|MN|

，由此可求

|PM|

|PN|

的值．

解答：（1）證明：假設(shè)E為黃金橢圓，則e=

c

a

=

5 -1

2

，∴c=

5 -1

2

a．…（1分）
∴b2=a2-c2=a2-(

5 -1

2

a)2=

5 -1

2

a2=ac．…（3分）
即a，b，c成等比數(shù)列，與已知矛盾，故橢圓E一定不是“黃金橢圓”．…（4分）
（2）解：依題意，假設(shè)直線l的方程為y=k（x-c）．
令x=0有y=-kc，即點R的坐標(biāo)為（0，-kc）．
∵

RP

=-2

PF2

，∴點F₂（c，0），
∴點P的坐標(biāo)為（2c，kc）．…（6分）
∵點P在橢圓上，∴

4c2

a2

+

k2c2

b2

=1．
∵b²=ac，∴4e²+k²e=1．
∴k2=

1-4e2

e

＜0，與k²≥0矛盾．
∴滿足題意的直線不存在．…（8分）
（3）解：連接MF₁，MF₂，設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r．
則

1

2

|PF1|r+

1

2

|PF2|r+

1

2

|F1F2|r=S△PF1F2
即

1

2

(2a+2c)r=S△PF1F2

1

2

|F1F2|r=S△MF1F2=

1

2

•2c•r
∴

a+c

c

=

S△PF1F2

S△MF1F2

=

|PN|

|MN|

…（10分）
∴|MN|=

c

a+c

|PN|
∴|PM|=(1-

c

a+c

)|PN|
∴

|PM|

|PN|

=

a

a+c

=

1

1+ c a

=

1

1+ 5 -1 2

=

1

5 +1 2

=

5 -1

2

…（12分）

點評：本題考查新定義，考查反證法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用新定義是關(guān)鍵．