Question

12．過直線1：x+y=2上任意點(diǎn)P向圓C：x²+y²=1作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，線段AB的中點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q到直線1的距離的取值范圍為$[\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 設(shè)P（t，2-t），則經(jīng)過四點(diǎn)O，A，P，B的圓的方程為：$（x-\frac{t}{2}）^{2}+（y-\frac{2-t}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}[{t}^{2}+（2-t）^{2}]$，化為：x²-tx+y²-（2-t）y=0．與方程x²+y²=1相減可得直線AB的方程：tx+（2-t）y=1．又直線OP的方程為：（2-t）x-ty=0，聯(lián)立解得Q坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式及其二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)P（t，2-t），則經(jīng)過四點(diǎn)O，A，P，B的圓的方程為：$（x-\frac{t}{2}）^{2}+（y-\frac{2-t}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}[{t}^{2}+（2-t）^{2}]$，化為：x²-tx+y²-（2-t）y=0．
與方程x²+y²=1相減可得直線AB的方程：tx+（2-t）y=1．
又直線OP的方程為：（2-t）x-ty=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{tx+（2-t）y=1}\\{（2-t）x-ty=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{t}{2{t}^{2}-4t+4}$，y=$\frac{2-t}{2{t}^{2}-4t+4}$．
即線段AB的中點(diǎn)Q$（\frac{t}{2{t}^{2}-4t+4}，\frac{2-t}{2{t}^{2}-4t+4}）$．
∴點(diǎn)Q到直線l的距離d=$\frac{|\frac{t}{2{t}^{2}-4t+4}+\frac{2-t}{2{t}^{2}-4t+4}-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$•$|2-\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}|$，
∵t²-2t+2=（t-1）²+1≥1，
∴$\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}$∈（0，1]．
∴d∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}）$．
故答案為：∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、圓的方程、圓的相交弦、點(diǎn)到直線的距離公式、函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．