Question

點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線l：x+6=0的距離小2．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若直線y=x-5與（1）中的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意得，點(diǎn)M到直線x=-4的距離和它到點(diǎn)（4，0）的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)（4，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-4為準(zhǔn)線的拋物線．
（2設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=16x y=x-5

得：x²-26x+25=0，利用弦長(zhǎng)公式或兩點(diǎn)間的距離公式，求出線段AB的長(zhǎng)．

解答： 解：（1）由題意可知：點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離與它到直線l：x+4=0的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)的拋物線．
由

p

2

=4得p=8，所以其方程為y²=16x．
（2）法一 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=|x₁-x₂|

1+k2

=

2

|x₁-x₂|
由

y=16x y=x-5

得：x²-26x+25=0，∴x₁+x₂=26，x₁x₂=25，
所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

262-4×25

=24，
于是|AB|=

2

|x₁-x₂|=24

2

．
法二 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=16x y=x-5

得：x²-26x+25=0，解得x₁=1，x₂=25．所以A（1，-4），B（25，20），
從而|AB|=

(1-25)2+(-4-20)2

=24

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．