Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A₁-BC-A的大�。�
（3）求CC₁到平面A₁AB的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證AC₁⊥平面A₁BC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC₁與平面A₁BC內(nèi)兩相交直線垂直，利用平面和平面垂直的性質(zhì)定理可以證出BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁，滿足定理?xiàng)l件；
（2）在證得BC⊥平面AA₁C₁C的基礎(chǔ)上，可以知道∠A₁CA為面角A₁-BC-A的平面角，通過(guò)證明△A₁CA為正三角形得出∠A₁CA=60°
（3）取AA₁中點(diǎn)F，則AA₁⊥平面BCF，從而面A₁AB⊥面BCF，過(guò)C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A₁AB，從而CH就是CC₁到平面A₁AB的距離，在Rt△BCF中，求出CH即可

解答：（1）證明：因?yàn)锳₁D⊥平面ABC，所以平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，
得BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁
所以AC₁⊥平面A₁BC；（4分）
（2）解：由（1）已證BC⊥平面AA₁C₁C，所以BC⊥AC，BC⊥A₁C，∠A₁CA為二面角A₁-BC-A的平面角．
由AC₁⊥平面A₁BC，得出AC₁⊥A₁C，所以平行四邊形AA₁C₁C為菱形．
由于A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，所以A₁A=A₁C，所以△A₁CA為正三角形，得出∠A₁CA=60°
即二面角A₁-BC-A的大小為60°
（3）解：由（2）四邊形AA₁C₁C為菱形，△A₁CA為正三角形，
故AA₁=AC=2，∠A₁AC=60°．
取AA₁中點(diǎn)F，則AA₁⊥CF又 AA₁⊥BC，所以AA₁⊥平面BCF，從而面A₁AB⊥面BCF，
過(guò)C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A₁AB，
在Rt△BCF中，BC=2，CF=

3

，故CH=

2 21

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，
即CC₁到平面A₁AB的距離為CH=

2 21

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面垂直的判定，二面角的平面角大小計(jì)算，線面之間距離的計(jì)算．考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化、運(yùn)算能力和推理論證能力．