Question

已知函數(shù)f（x）=+lnx-1（a是常數(shù)，e=2.71828）．
（Ⅰ）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，方程f（x）=m在上有兩解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)則f′（2）=0，可求出a的值，然后求出f′（1）得到切線的斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式可求出切線方程；
（II）先求導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在 上的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，從而可求出m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ） 定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=a×（-）+=
∵x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（2）==0，解得a=2
∴f′（x）=∴f′（1）=-1
又f（1）=1
∴所求切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0為所求．…6分
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，f′（x）=，其中，
當(dāng)x∈[，1）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（1，e²]時(shí)，f′（x）＞0，
∴x=1是f（x）在 上唯一的極小值點(diǎn)，
∴[f（x）]_min=f（1）=0
又f（）=e-2，f（e²）==，f（）-f（e²）=e-2--1＜0
綜上，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0＜m≤e-2}．…12分．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)處的切線，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．