【題目】已知向量 =(m,﹣1), =(
(1)若m=﹣ ,求 的夾角θ;
(2)設(shè) . ①求實(shí)數(shù)m的值;
②若存在非零實(shí)數(shù)k,t,使得[ +(t2﹣3) ]⊥(﹣k +t ),求 的最小值.

【答案】
(1)解:向量 =(m,﹣1), =( ),若m=﹣ , 的夾角θ,

則有cosθ= = =﹣ ,∴θ=


(2)解:①設(shè) ,則 = =0,∴m=

②由①可得, =( ,﹣1), = =0,

若存在非零實(shí)數(shù)k,t,使得[ +(t2﹣3) ]⊥(﹣k +t ),故有[ +(t2﹣3) ](﹣k +t )=0,

∴﹣k +[﹣k(t2﹣3)+t] +t(t2﹣3) =﹣k4+0+t(t2﹣3)=0,∴4k=t(t2﹣3),

= +t= = ≥﹣ ,當(dāng)且僅當(dāng)t=﹣2時(shí),取等號(hào),

的最小值為﹣


【解析】(1)由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得cosθ= 的值,可得θ的值.(2)①利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì),求得m的值.②根據(jù)[ +(t2﹣3) ](﹣k +t )=0,求得4k=t(t2﹣3),從而求得 = ,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值.

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