分析 (1)由題意得到A點坐標(biāo),代入橢圓方程即可求得橢圓的離心率;
(2)把橢圓方程用含有a的代數(shù)式表示,寫出直線l的方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求得B的坐標(biāo),由數(shù)量積為0求得a值,得到|→PA|、|→PB|,代入三角形面積公式得答案.
解答 解:(1)由題意可知,點A的坐標(biāo)為(a2,32c),
∴(a2)2a2+(32c)22=1,即14+9c242=1,
∴b2=3c2,聯(lián)立b2=a2-c2,
得a2-c2=3c2,即a2=4c2,
∴e=ca=12;
(2)由(1)得,A(a2,34a),
則過A(a2,34a)且斜率為12的直線方程為y-34a=12(x-a2),
即y=12x+a2,橢圓方程為x2a2+4y23a2=1,
聯(lián)立{y=12x+a2x2a2+4y23a2=1,得2x2+ax-a2=0,
解得:B(-a,0),
∵AB為直徑的圓過點P(12,92),
∴→PA•→PB=(a2−12,34a−92)•(−a−12,−92)=0,
即-(a+12)(a2−12)-92(34−92)=0.
解得:a=-5(舍),或a=112.
∴→PA=(94,−38),→PB=(−6,−92),
則|→PA|=√3338,|→PB|=152,
∴S△PAB=12|→PA||→PB|=12×√3338×152=15√33332.
點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計算能力,是中檔題.
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