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7.橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的右頂點為Q,O為坐標(biāo)原點,過OQ的中點作x軸的垂錢與橢圓在第一象限交于點A,點A的縱坐標(biāo)為32c,c為半焦距.
(1)求橢圓的離心率;
(2)過點A斜率為12的直線l與橢圓交于另一點B,以AB為直徑的圓過點P(12,92),求三角形APB的面積.

分析 (1)由題意得到A點坐標(biāo),代入橢圓方程即可求得橢圓的離心率;
(2)把橢圓方程用含有a的代數(shù)式表示,寫出直線l的方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求得B的坐標(biāo),由數(shù)量積為0求得a值,得到|PA||PB|,代入三角形面積公式得答案.

解答 解:(1)由題意可知,點A的坐標(biāo)為(a2,32c),
a22a2+32c22=1,即14+9c242=1,
∴b2=3c2,聯(lián)立b2=a2-c2
得a2-c2=3c2,即a2=4c2,
e=ca=12;
(2)由(1)得,A(a234a),
則過A(a234a)且斜率為12的直線方程為y-34a=12(x-a2),
即y=12x+a2,橢圓方程為x2a2+4y23a2=1
聯(lián)立{y=12x+a2x2a2+4y23a2=1,得2x2+ax-a2=0,
解得:B(-a,0),
∵AB為直徑的圓過點P(12,92),
PAPB=a21234a92a1292=0,
即-(a+12)(a212)-923492=0.
解得:a=-5(舍),或a=112
PA=9438PB=692
|PA|=3338,|PB|=152
SPAB=12|PA||PB|=12×3338×152=1533332

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計算能力,是中檔題.

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