Question

7．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點為Q，O為坐標(biāo)原點，過OQ的中點作x軸的垂錢與橢圓在第一象限交于點A，點A的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$c，c為半焦距．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點A斜率為$\frac{1}{2}$的直線l與橢圓交于另一點B，以AB為直徑的圓過點P（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），求三角形APB的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意得到A點坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得橢圓的離心率；
（2）把橢圓方程用含有a的代數(shù)式表示，寫出直線l的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得B的坐標(biāo)，由數(shù)量積為0求得a值，得到$|\overrightarrow{PA}|、|\overrightarrow{PB}|$，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（1）由題意可知，點A的坐標(biāo)為（$\frac{a}{2}$，$\frac{3}{2}c$），
∴$\frac{（\frac{a}{2}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}c）^{2}}{^{2}}=1$，即$\frac{1}{4}+\frac{9{c}^{2}}{4^{2}}=1$，
∴b²=3c²，聯(lián)立b²=a²-c²，
得a²-c²=3c²，即a²=4c²，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得，A（$\frac{a}{2}，\frac{3}{4}a$），
則過A（$\frac{a}{2}，\frac{3}{4}a$）且斜率為$\frac{1}{2}$的直線方程為y-$\frac{3}{4}a$=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{a}{2}$），
即y=$\frac{1}{2}x+\frac{a}{2}$，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{y}^{2}}{3{a}^{2}}=1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{a}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{y}^{2}}{3{a}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得2x²+ax-a²=0，
解得：B（-a，0），
∵AB為直徑的圓過點P（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（\frac{a}{2}-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}a-\frac{9}{2}）•（-a-\frac{1}{2}，-\frac{9}{2}）=0$，
即-（$a+\frac{1}{2}$）（$\frac{a}{2}-\frac{1}{2}$）-$\frac{9}{2}（\frac{3}{4}-\frac{9}{2}）$=0．
解得：a=-5（舍），或a=$\frac{11}{2}$．
∴$\overrightarrow{PA}=（\frac{9}{4}，-\frac{3}{8}）$，$\overrightarrow{PB}=（-6，-\frac{9}{2}）$，
則$|\overrightarrow{PA}|$=$\frac{\sqrt{333}}{8}$，$|\overrightarrow{PB}|=\frac{15}{2}$，
∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{333}}{8}×\frac{15}{2}=\frac{15\sqrt{333}}{32}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題．