Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f（x）=xe^x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)可得f（x）=f（-x），從而求表達式．
（2利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）當x＞0時，-x＜0，∴f（x）=xe^-x，又為偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=xe^-x．
則f（x）=

xe-x，x＞0 -xex，x≤0

；
（2）當x＞0時，f′（x）=e^-x-xe^-x=（1-x）e^-x，∴（0，1）時f′（x）＞0，f（x）遞增，（1，+∞）時f′（x）＜0，
f（x）遞減；由于偶函數(shù)，據(jù)對稱性，（-∞，-1）時f′（x）＞0，f（x）遞增，（-1，0）時f′（x）＜0，f（x）遞減．

點評：本題考查了奇偶函數(shù)的解析式的求法，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎題．