Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用周期公式求得最小正周期T和函數(shù)的最大和最小值．
（2）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2x+cos2x=2（sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

）=2sin（2x+

π

6

）
∴T=

2π

2

=π，
當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=

π

6

+kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)取得最大值2．
當(dāng)2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

π

3

，k∈Z時(shí)，函數(shù)取得最小值-2．
（2）當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

6

，k∈Z時(shí)，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，函數(shù)單調(diào)增，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．應(yīng)靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．