【題目】設實數(shù)，整數(shù)， ．

(1)證明：當且時， ；

(2)數(shù)列滿足， ，證明： .

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析; (1) 用數(shù)學歸納法證明即可；
(2) 先用數(shù)學歸納法證明，從著手，由 ，將求證式進行等價轉(zhuǎn)化后即可解決，用相同的方式將 進行轉(zhuǎn)換，設法利用已證結(jié)論證明．

試題解析；

(Ⅰ) 證：用數(shù)學歸納法證明

（1）當時， ，原不等式成立

（2）假設時，不等式成立

當時，

所以時，原不等式成立

綜合（1）（2）,知當且時，對一切整數(shù)，不等式均成立…

（Ⅱ）先用數(shù)學歸納法證明。

（1）當時由假設知成立。

（2）假設時，不等式成立

由易知

當時

由得

由（Ⅰ）中的結(jié)論得

因此，即，所以當時，不等式也成立

綜合（1）（2）可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立

再由得，即

綜上所述，

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓： 過橢圓： ()的短軸端點， ， 分別是圓與橢圓上任意兩點，且線段長度的最大值為3．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點作圓的一條切線交橢圓于， 兩點，求的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】調(diào)查在級風的海上航行中71名乘客的暈船情況，在男人中有12人暈船，25人不暈船，在女人中有10人暈船，24人不暈船

（1）作出性別與暈船關(guān)系的列聯(lián)表；

（2）根據(jù)此資料，能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為級風的海上航行中暈船與性別有關(guān)？

暈船

不暈船

總計

男人

女人

總計

附：.

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知每一項都是正數(shù)的數(shù)列滿足， ．

（1）用數(shù)學歸納法證明： ；

（2）證明： ；

（3）記為數(shù)列的前項和，證明： ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求的最小值；

（Ⅱ）若函數(shù)（， 為自然對數(shù)的底數(shù)），，對于任意的，恒有成立，求的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐，底面是邊長為的菱形， ， 為的中點， ，

與平面所成角的正弦值為.

(1)在棱上求一點，使平面；

(2)求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美，給出定義：能夠?qū)A的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”，給出下列命題：

①對于任意一個圓，其“優(yōu)美函數(shù)“有無數(shù)個”；

②函數(shù)可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

③正弦函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

④函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對稱圖形．

其中正確的命題是：（ ）

A. ①③ B. ①③④ C. ②③ D. ①④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為2,離心率為.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)過點作圓的切線,切點分別為,直線與軸交于點,過點作直線交橢圓于兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，各棱長均相等， ， ， 分別為棱， ， 的中點．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）若三棱柱為直棱柱，求直線與平面所成角的正弦值．

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