已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn+2an=10-12(
2
3
)n(n∈N*)
,設(shè)bn=(
3
2
)nan

(1)求證:{bn}為等差數(shù)列;
(2)若cn=
1
bnbn+1
,求
lim
n→∞
(c1+c2+…+cn)
的值;
(3)是否存在正實數(shù)k,使得(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)≥k
2n+1
對任意n∈N*都成立?若存在,求實數(shù)k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由Sn+2an=10-12(
2
3
)n
,再寫一式,兩式相減,利用bn=(
3
2
)
n
an
,即可證得{bn}為公差為2的等差數(shù)列;
(2)先確定{bn}的通項公式,再利用裂項法求數(shù)列的和,進(jìn)而可求極限;
(3)問題等價于
2•4•6…(2n)
1•3•5…(2n-1)
2n+1
≥k
,令
2•4•6…(2n)
1•3•5…(2n-1)
2n+1
=f(n)
,確定f(n)單調(diào)遞增,求出函數(shù)的最小值,即可求實數(shù)k的取值范圍.
解答:(1)證明:由Sn+2an=10-12(
2
3
)n
①,可得Sn+1+2an+1=10-12(
2
3
)n+1
②,
②-①,得an+1+2an+1-2an=12(
2
3
)n(1-
2
3
)=4(
2
3
)n

3an+1-2an=4(
2
3
)n
,
bn+1=(
3
2
)n+1an+1=(
3
2
)n+1[
2
3
an+
4
3
(
2
3
)n]=(
3
2
)nan+2=bn+2

∴bn+1-bn=2,
∴{bn}為公差為2的等差數(shù)列.
(2)解:由(1),bn=b1+2(n-1),在①中令n=1,得a1+2a1=10-12(
2
3
)1=2
,∴a1=
2
3
,
b1=(
3
2
)1
2
3
=1
,∴bn=2n-1(n∈N*),
cn=
1
bnbn+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

lim
n→∞
(c1+c2+…+cn)
=
lim
n→∞
[
1
2
(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]

=
lim
n→∞
[
1
2
(1-
1
2n+1
)]=
1
2

(3)解:(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)≥k
2n+1
,即
2
1
4
3
6
5
2n
2n-1
≥k
2n+1

2•4•6…(2n)
1•3•5…(2n-1)
2n+1
≥k
,
2•4•6…(2n)
1•3•5…(2n-1)
2n+1
=f(n)

f(n+1)
f(n)
=
2•4•6…(2n)(2n+2)
1•3•5…(2n-1)(2n+1)
2n+3
1•3•5…(2n-1)
2n+1
2•4•6…(2n)

=
(2n+2)
2n+1
(2n+1)
2n+3
=
2n+2
2n+1
2n+3
=
(2n+2)2
(2n+1)(2n+3)
=
4n2+8n+4
4n2+8n+3
=
1+
1
4n2+8n+3
>1
,
又f(n)>0,
∴f(n+1)>f(n),即f(n)單調(diào)遞增,
[f(n)]min=f(1)=
2
3
3
,
故要使f(n)≥k對任意n∈N*都成立,當(dāng)且僅當(dāng)[f(n)]min≥k,故k≤
2
3
3
點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查等差數(shù)列的證明,考查裂項法求數(shù)列的和,考查恒成立問題,確定函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值是關(guān)鍵.
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