Question

如圖1，四面體ABCD及其三視圖（如圖2所示），過棱AB的中點(diǎn)E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點(diǎn)F，G，H．
（Ⅰ）證明：四邊形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由三視圖得到四面體ABCD的具體形狀，然后利用線面平行的性質(zhì)得到四邊形EFGH的兩組對邊平行，即可得四邊形為平行四邊形，再由線面垂直的判斷和性質(zhì)得到AD⊥BC，結(jié)合異面直線所成角的概念得到EF⊥EH，從而證得結(jié)論；
（Ⅱ）分別以DB，DC，DA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，求出

AB

及平面EFGH的一個法向量

n

，用

AB

與

n

所成角的余弦值的絕對值得直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由三視圖可知，四面體ABCD的底面BDC是以∠BDC為直角的等腰直角三角形，
且側(cè)棱AD⊥底面BDC．
如圖，

∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD?平面ABD，
∴AD∥EF．
∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD?平面ADC，
∴AD∥GH．
由平行公理可得EF∥GH．
∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC?平面BDC，
∴BC∥FG．
∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC?平面ABC，
∴BC∥EH．
由平行公理可得FG∥EH．
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
又AD⊥平面BDC，BC?平面BDC，
∴AD⊥BC，則EF⊥EH．
∴四邊形EFGH是矩形；
（Ⅱ）解：
解法一：取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)，顯然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH∥平面EFGH，取EH的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN⊥EH，
∴MN⊥平面EFGH⊥，則∠MFN就是MF（即AB）與平面EFGH所成的角θ，
∵△MEH是等腰直角三角形，
∴MN=

2

2

，又MF=

1

2

AB=

5

2

，
∴sin∠AFN=

MN

MF

=

10

5

，即直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值是

10

5

．

解法二：分別以DB，DC，DA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由三視圖可知DB=DC=2，DA=1．
又E為AB中點(diǎn)，
∴F，G分別為DB，DC中點(diǎn)．
∴A（0，0，1），B（2，0，0），F(xiàn)（1，0，0），E（1，0，

1

2

），G（0，1，0）．
則

AB

=(2，0，-1)，

FE

=(0，0，

1

2

)，

FG

=(-1，1，0)．
設(shè)平面EFGH的一個法向量為

n

=(x，y，z)．
由

n • FE =0 n • FG =0

，得

1 2 z=0 -x+y=0

，取y=1，得x=1．
∴

n

=(1，1，0)．
則sinθ=|cos＜

AB

，

n

＞|=|

AB • n

| AB |•| n |

|=|

2×1+0×1+(-1)×0

5 × 2

|=

10

5

．

點(diǎn)評：本題考查了空間中的直線與直線的位置關(guān)系，考查了直線和平面所成的角，訓(xùn)練了利用空間直角坐標(biāo)系求線面角，解答此題的關(guān)鍵在于建立正確的空間右手系，是中檔題．