Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時，試判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=x²-mx+4，當(dāng)a=2時，若存在x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），當(dāng)a=1時判斷導(dǎo)數(shù)f′（x）的符號即可；
（2）由g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，知對?x∈（0，+∞），g'（x）≥0成立，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可；
（3）當(dāng)a=2時，g（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由g′（x）=0，得x的值，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，所以在（0，1）上，g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$），由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，得f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
當(dāng) a=1時，f′（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}}$＞0（x＞0），
f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由已知得，g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-5lnx，其定義域為（0，+∞），
g′（x）=$\frac{{ax}^{2}-5x+a}{{x}^{2}}$．
因為g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，
所以?x∈（0，+∞），g'（x）≥0，即ax2-5x+a≥0，則a≥$\frac{5x}{{x}^{2}+1}$．
而 $\frac{5x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{5}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{5}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立，
所以a≥$\frac{5}{2}$；
（3）當(dāng)a=2時，g（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，g′（x）=$\frac{{2x}^{2}-5x+2}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$或x=2．
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，g′（x）≥0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，1）時，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上，g（x）max=g（$\frac{1}{2}$）=-3+5ln2，
而“?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立”等價于
“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值為max{h（1），h（2）}，
所以有 $\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）≥h（1）}\\{g（\frac{1}{2}）≥h（2）}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-3+5ln2≥5-m}\\{-3+5ln2≥8-2m}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥8-5ln2}\\{m≥\frac{1}{2}（11-5ln2）}\end{array}\right.$，
解得m≥8-5ln2，
所以實數(shù)m的取值范圍是[8-5ln2，+∞）．

點評 本題考查在閉區(qū)間上求函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細解答．