已知函數(shù)，，又函數(shù)在單調(diào)遞減，而在單調(diào)遞增．

（１）求的值；

（2）求的最小值，使對，有成立；

（３）是否存在正實數(shù)，使得在上既有最大值又有最小值？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（１），（２）滿足條件的的最小值為52．  （3）

【解析】(1)由題意知x=1是函數(shù)f(x)的極小值點，所以可根據(jù)求出a的值.

（2）分別求出f(x)和g(x)在區(qū)間[-2,2]上的最值，再求出f(x)-g(x)的取值范圍，進而求出|f(x)-g(x)|的最大值即可，那么M的最小值就等于|f(x)-g(x)|的最大值.

（１）由題意知是函數(shù)的一個極值點，即，∴，即，

此時，滿足條件，∴．………４分

（２）由得，或，列表可得， ，，，，∴當時，；…………………6分

又，∴當時，；………8分

因此，，∴；∴滿足條件的的最小值為52．…… 10分

（3）

則得；………12分

要使得存在正實數(shù)，使得在上既有最大值又有最小值，則必須，即，且滿足

，……………14分

得，即 ∴∴即為所求

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

例4、已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數(shù)，在[1，4]上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值-5．
①證明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且當x＞0，f（x）＜0．又f（1）=-2．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值；
（3）解關于x的不等式f（ax2）-2f（x）＜f（ax）+4．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，周期為5，函數(shù)y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數(shù)，在[1，4]上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值-5，
（1）求f（1）+f（4）的值；
（2）求y=f（x），x∈[1，4]上的解析式；
（3）求y=f（x）在[4，9]上的解析式，并求函數(shù)y=f（x）的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）當a=
1
3
時，方程f（x）=b恰有三個根，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當a=
1
3
時，是否存在區(qū)間[m，n]，使得函數(shù)的定義域與值域均為[m，n]，若存在請求出所有可能的區(qū)間[m，n]，若不存在請說明理由；
（3）若a＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m，n的取值范圍（用a表示）．

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