如圖，已知A（-3，0），B、C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿足
AB
•
BQ
=0，
BC
=
1
2
CQ
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線與Q的軌跡交于E、F兩點(diǎn)，A′（3，0），求直線A′E、A′F的斜率之和．
（1）設(shè)點(diǎn)B、C、Q的坐標(biāo)分別為（0，b）、（c，0）、（x，y），
則
AB
=(3，b)，
BC
=(c，-b)，
CQ
=(x-c，y)，
BQ
=(x，y-b)．
由
AB
•
BQ
=0，
BC
=
1
2
CQ
．
得
3x+b(y-b)=0
-b=
1
2
y
，消去b得：y2=4x；
（2）設(shè)過過點(diǎn)A的直線方程為：y=k（x+3），
聯(lián)立
y=k(x+3)
y2=4x
，消去y得：k2x2+（6k2-4）x+9k2=0．
設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），
則x1+x2=
4-6k2
k2
，x1x2=9．
∴kA′E+kA′F=
y1
x1-3
+
y2
x2-3

=
y1(x2-3)+y2(x1-3)
(x1-3)(x2-3)
=
k(x1+3)(x2-3)+k(x2+3)(x1-3)
x1x2-3(x1+x2)+9

=
2k(x1x2-9)
x1x2-3(x1+x2)-9
=
2k(9-9)
x1x2-3(x1+x2)-9
=0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，且△AOB的面積為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（4，0）作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點(diǎn)M、N，交y軸于Q點(diǎn)，證明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
為定值，并求這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直線l：y=x+b與拋物線x2=4y相切于點(diǎn)A．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若過拋物線的焦點(diǎn)且平行于直線l的直線l1交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的頂點(diǎn)為A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|A1B2|=
7
，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線m過Q（1，1），且與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)Q是MN的中點(diǎn)時(shí)，求直線m的方程．
（Ⅲ）設(shè)n為過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)A，B的直線，|
OP
|=1，是否存在上述直線l使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2與原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短軸長為直徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，2）的直線l1與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)．設(shè)直線l1的斜率k＞0，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形．如果存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
6
3
，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為
3
2
．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2+
y2
2
=1上的兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B是過焦點(diǎn)F1的一條動(dòng)弦，則△ABF2的面積的最大值為（　�。�
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

曲線y=x2上的點(diǎn)到直線2x+y+4=0的最短距離是（　�。�
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
5
5
D．
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F以及橢圓C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O：x2+y2=1上．
（1）求拋物線C1和橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線C1于A，B兩不同點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，則λ1+λ2是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

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