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精英家教網如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DA⊥AB,AD=3,AB=4,BC=
3
,點E在線段AB的延長線上.若曲線段DE(含兩端點)為某曲線L上的一部分,且曲線L上任一點到A、B兩點的距離之和都相等.
(1)建立恰當的直角坐標系,求曲線L的方程;
(2)根據曲線L的方程寫出曲線段DE(含兩端點)的方程;
(3)若點M為曲線段DE(含兩端點)上的任一點,試求|MC|+|MA|的最小值,并求出取得最小值時點M的坐標.
分析:(1)由題意,先建立平面直角坐標系,利用曲線的方程這一概念求其動點的軌跡方程;
(2)由題意知xD<x<xE,y≥0,而xD=xA=-2,xE=4,從而得出所求曲線段DE的方程,利用曲線的方程這一概念求其動點的軌跡方程,要注意求解方程之后要有題意去排雜;
(3)由橢圓的定義及點M為曲線段DE(含兩端點)上的任一點可知|MA|+|MB|=2a=8,即|MA|=8-|MB|,則|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2
3
即可求得|MC|+|MA|有最小值.
解答:解(1)如圖,以AB所在的直線為x軸,其垂直平分線為y軸,建立所示的直角坐標系,
A(-2,0),B(2,0),C(2,
3
),D(-2,3)
,|DA|=3,|DB|=5.
設動點M(x,y)為曲線L上的任一點,
則|MA|+|MB|=|DA|+|DB|=8,精英家教網
(x+2)2+y2
+
(x-2)2+y2
=8

整理得
x2
16
+
y2
12
=1
,為所求曲線L的方程
(2)由題意知xD<x<xE,y≥0,
而xD=xA=-2,xE=4
則所求曲線段DE的方程為
x2
16
+
y2
12
=1(-2≤x≤4,y≥0)

(3)由橢圓的定義及點M為曲線段DE(含兩端點)上的任一點可知|MA|+|MB|=2a=8,即|MA|=8-|MB|,
則|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2
3
,
當且僅當點M位于線段BC的交點處時等號成立,
由BC⊥AB知此時點M的橫坐標為2,則其縱坐標為3,
即當點M的坐標為(2,3)時|MC|+|MA|有最小值8-2
3
點評:重點考查了利用曲線的方程這一概念,先建立平面直角坐標系,然后利用定義法求其動點的軌跡方程,并進行實際問題的排雜.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面ABCD,AB=AD=a,SD=
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a.
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AP
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PA
PB
的值為
5
5

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2
2

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